MATRIZES

O determinante de uma matriz quadrada é um valor numérico real que está associado a essa matriz com base em certas regras estabelecidas. Matrizes são estruturas matemáticas organizadas na forma de uma tabela composta por linhas e colunas, utilizadas para organizar dados e informações. No contexto da Álgebra, as matrizes desempenham um papel fundamental na resolução de sistemas lineares. Elas podem ser construídas com m linhas e n colunas, conforme abordado nos estudos sobre determinantes e sistemas lineares. A seguir, iremos explorar um pouco sobre as origens históricas e as aplicações práticas das matrizes e determinantes.

Os estudos relacionados a matrizes e determinantes tiveram início no século II a.C. Naquela época, os babilônios investigaram problemas que envolviam sistemas lineares de duas variáveis, cujas soluções foram preservadas em tabletes de argila. Os chineses também fizeram contribuições significativas, apresentando os primeiros exemplos de matrizes no texto intitulado "Nove capítulos da arte Matemática". Embora esses estudos tenham surgido na antiguidade, foi somente em 1790 que Joseph Louis Lagrange contribuiu com o primeiro uso implícito do conceito de matriz. No entanto, os trabalhos nessa área só foram retomados no século XIX, considerado um período de avanços matemáticos revolucionários. Em 1826, Augustin-Louis Cauchy introduziu o termo "tableau" para se referir a uma matriz retangular. Os matemáticos ingleses Arthur Cayley e James Joseph Sylvester também realizaram diversos estudos nesse campo. Em 1850, Sylvester cunhou o termo "matriz", visualizando-a como um "bloco retangular de termos". Foi Cayley, por sua vez, que divulgou esse nome com sua famosa "Memoir on the Theory of Matrices" em 1858, demonstrando sua utilidade e desmistificando a ideia de que as matrizes eram apenas um componente dos determinantes, passando a ter uma existência independente.

As matrizes desempenham um papel de grande importância tanto na Matemática quanto no cotidiano humano, sendo aplicadas em áreas como Economia, Engenharia, Física, Biologia, Computação, entre outras. Um exemplo prático é a representação dos pixels em um monitor de computador. Por exemplo, uma tela com dimensões de 640 x 480 pixels indica que a tela é composta por uma tabela com 307.200 pontos ou pixels. Essa tabela tem 480 pontos de altura e 640 pontos de largura. Para localizar um ponto específico nessa tabela, pode-se utilizar um par ordenado (a, b), onde "a" representa a linha e "b" representa a coluna. As matrizes organizam os números em forma de tabela e permitem a localização de um número específico através de um par ordenado, semelhante ao funcionamento de um monitor de computador, onde cada posição armazena uma cor. Em um monitor com 256 cores, cada pixel pode armazenar um número entre zero e 255, resultando em 256 possibilidades, o que corresponde a 2^8 (2 elevado à 8ª potência). Esse exemplo também se aplica a telas de televisores.

Além disso, as matrizes também são utilizadas em boletins escolares, como ilustrado no exemplo a seguir:

A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa:

	Química	Inglês	Literatura	Espanhol
A	8	7	9	8
B	6	6	7	6
C	4	8	5	9

Caso desejemos descobrir a nota do aluno B na disciplina de Literatura, simplesmente procuramos o número que está localizado na segunda linha e terceira coluna da tabela.

Agora, vamos considerar uma tabela de números organizados em linhas e colunas, similar ao exemplo anterior, porém apresentados entre parênteses ou colchetes:

Nesse tipo de tabela, os números presentes são considerados elementos. As linhas são numeradas de cima para baixo e as colunas são numeradas da esquerda para a direita.

Outras aplicações práticas de matrizes são abordadas no trabalho acadêmico intitulado "Algumas aplicações de matrizes", elaborado pela Universidade Federal de Santa Catarina. Nesse artigo, além de explicar as operações e propriedades das matrizes, são apresentadas algumas aplicações práticas, como o uso de matrizes na criptografia, em modelos populacionais e na "Cadeia de Markov", um processo em que a probabilidade de um sistema estar em determinado estado em um período de observação depende exclusivamente do estado no período de observação imediatamente anterior.

O estudo dos determinantes precedeu o estudo das matrizes, sendo considerado que, anteriormente, as matrizes eram consideradas componentes dos determinantes. A definição do determinante é atribuída ao matemático alemão Gottfried Leibniz, em 1693, quando desenvolveu a Teoria dos Determinantes com o objetivo de estudar sistemas de equações lineares. No entanto, considerações semelhantes já haviam sido feitas dez anos antes pelo matemático japonês Seki Kowa, considerado o maior matemático japonês do século XVII. Em 1750, o matemático e astrônomo suíço Gabriel Cramer publicou a solução de sistemas lineares através da famosa "Regra de Cramer", uma descoberta originalmente feita pelo escocês Colin Maclaurin, mas com uma grande contribuição de Cramer. O francês Étienne Bézout sistematizou, em 1764, o processo para determinar os sinais dos termos de um determinante. Outro francês, Alexandre Vandermonde, em 1771, foi o primeiro a abordar a teoria dos determinantes independentemente do estudo de sistemas lineares, embora também os tenha utilizado para a resolução desses sistemas. No ano seguinte, o francês Pierre Laplace demonstrou o importante Teorema de Laplace.

O termo "determinante", com o sentido atual, surgiu em 1812 em um trabalho de Augustin-Louis Cauchy, onde ele resumiu e simplificou o conhecimento existente sobre determinantes, além de melhorar sua notação (embora a notação atual com duas barras verticais nos lados do quadrado de números tenha surgido apenas em 1841 com Arthur Cayley) e demonstrar o teorema da multiplicação de determinantes, que já havia sido demonstrado anteriormente por Jacques Philippe Marie Binet.

Além de Cayley, outro matemático que contribuiu significativamente para consolidar a teoria dos determinantes foi o alemão Carl Gustav Jakob Jacobi, conhecido como "o grande alegorista". A ele devemos a forma simples como essa teoria é apresentada atualmente.